Die Darstellung Ganz Willkurlicher Functionen Durch Sinus-und Cosinusreihen; Note Uber eine Eigenschaft der Reihen, Welche Discontinuirliche Functionen Darstellen (Classic Reprint) 12+

📙 Excerpt from Die Darstellung Ganz Willkürlicher Functionen Durch Sinus-und Cosinusreihen; Note Über eine Eigenschaft der Reihen, Welche Discontinuirliche Functionen DarstellenObgleich die Gleichungen (13) und (14) beide eine ganz beliebige Function f(x) für das Intervall von 0 bis 77 dar stellen, se sind sie doch wesentlich von einander verschieden. Während die letztere wegen der bekannten Eigenschaft des Cosinus, für entgegengesetzte Werthe des Bogens gleich zu sein, durch die Verwandlung von x in - x unverändert bleibt, nimmt die erstere in demselben Falle den entgegengesetzten Werth an, wie ebenso leicht aus der Natur des Sinus erhellt. Man sieht hieraus leicht, dass man unter gewissen Umständen eine Function von x für das Intervall von - 77 bis 77 durch die Reihe (14) oder (13) darstellen kann. Denkt man sich nämlich unter f(x) eine von x 0 bis x 77 ganz beliebig gegebene Function von x, und setzt diese Function oder Curve von x 0 bis x - 77 so fort, dass immer f( - x) f(x), so wird diese Function von x 77 bis x - 77 durch die Reihe (14) ausgedrückt werden konnen, denn diese Reihe gilt immer von 0 bis 77, und da sie bei der Verwandlung von x in - x unverändert bleibt, welches nach der angegebenen Art der Fortsetzung auch bei der Function der Fall ist, so stellt sie diese auch von 0 bis - 77 dar. Ganz auf dieselbe Weise überzeugt man sich, dass, wenn man eine von 0 bis 77 beliebig gegebene Function so fortsetzt, dass f( - x) für eine solche Function zwischen x - 77 und x 7...