Мультипликативный интеграл. Приложения в дифференциальной геометрии

📕 Как известно, риманов интеграл это предел интегральной суммы. В определении мультипликативного интеграла речь идет о пределе произведения большого числа сомножителей, близких к единице - алгебраической операции, вообще говоря, не коммутативной. Теорию мультипликативного интеграла естественно рассматривать, как более общую, чем теория риманова интеграла. Ее специфика проистекает именно из некоммутативности умножения. Понятие мультипликативного интеграла ввел Вольтерра в 1887 г. В дифференциальной геометрии его впервые применил Шлезингер, введя понятие криволинейного мультипликативного интеграла. Позднее была замечена естественная связь мультипликативного интегрирования с задачами геометрического содержания. С теорией мультипликатианого интеграла тесно связаны проблемы теории управления, отражающие диффернциально-геометрические и теоретико-групповые свойства потоков, определяемых нестационарными векторными полями. Техника мультипликативного интегрирования находит применения в физике, теории вероятностей, теории нелинейных дифференциальных уравнений нулевой кривизны. Общая для этих приложений мультипликативная точка зрения часто подсказывает пути решений конкретных прикладных задач.