Выпуклые фигуры и многогранники

📕 Теория выпуклых фигур вообще и, в частности, выпуклых многогранников относится к наглядной геометрии. Ее теоремы имеют обычно элементарную формулировку и яркий геометрический смысл, хотя доказательства часто бывают весьма сложными.

Глава I представленной книги носит в основном элементарный характер. В ней даются основные понятия о выпуклых фигурах и телах, об их опорных прямых и плоскостях. Сюда же отнесена теорема Барбье об овалах постоянной ширины. Здесь также трактуется менее элементарный вопрос о минимаксах.
Глава II в основном также элементарна. Здесь излагаются некоторые свойства центрально-симметрических многогранников, теоремы Минковского о наибольшем центрально-симметрическом теле с целочисленной решеткой.
Глава III посвящена основным теоремам о выпуклых многогранниках (к ней примыкает по содержанию глава V). Излагаемый материал не требует от читателя знаний за пределами курса элементарной математики. Здесь приводится формулировка теоремы А.Д.Александрова по развертке выпуклого многогранника.
Глава IV в отличие от предыдущей требует знакомства с элементами аналитической геометрии и интегрального исчисления. В ней даются элементы теории линейных систем выпуклых фигур (для плоского случая).
Глава V, написанная А.Д.Александровым, содержит доказательство его теоремы о выпуклых многогранниках, из которой, как частный случай, следует теорема Минковского о том, что выпуклый многогранник определяется площадями и направлениями своих граней. Доказательство проводится элементарными методами. Тем самым удалось включить теорему Минковского в элементарную математическую литературу.
Глава VI содержит, с одной стороны, точное определение и обобщение встречающихся в книге понятий, например фигуры и выпуклой фигуры. Следует отметить, что понятие выпуклой фигуры играет большую роль в высших разделах современного анализа. В отдельной главе изложены важные теоремы, дающие некоторое представление о топологии и ее применении.